الخميس، 29 أبريل، 2010

الموشور القائم


تمهيد :
درسنا سابقاً المثلث والمربع والمستطيل والدائرة وغيرها من الأشكال المستوية ذات البعدين، وكل منها تستطيع أن
× القاعدة × الا رتفاع
تجد مساحته عن طريق قانون خاص به فمساحة المثلث، مثلاً=
- مساحة المستطيل = طوله × عرضه وهكذا .
يوجد مقابل هذه السطوح المستوية : أشكالاً ذات ثلاثة أبعاد وأنت تشاهد وتتعامل يومياً مع الكثير من هذه الأشكال ، فعلب العصير ، وعلب محارم الورق، وخزانات الماء والبراميل، والأهرامات وغيرها، هي أشكال ذات ثلاثة أبعاد ولذلك فهي تحتل مكاناً في هذا الفضاء أي أنها أشكال لها حجوم . وسندرس تالياً عدداً من هذه الأشكال المنتظمة ونتعرف على القوانين الخاصة بحساب حجومها ومساحتها السطحية والجانبية .


أولا:المنشور القائم حجمه ومساحة سطحه
تمهيد : يستعمل الكثيرون منا في منازلهم خزانات للماء ، وهذه الخزانات مصنوعة من الحديد المطلي ( لتأخير الصدأ قدر الإمكان ) ، أو من مواد بلاستيكية ، أما أشكالها فمختلفة بعضها منتظم وبعضها غير منتظم . يصنع الحدادون خزانات حديدية مختلفة الأبعاد ، بعضها صغير وبعضها كبير حسب حاجة الزبون ، ومن الأشكال الشائعة في منازلنا الخزان الذي طوله = عرضه = ارتفاعه = 1 م ونحن نقول أن هذا الخزان حجمه ( أو سعته ) 1 م والصواب هو 1م3 . وهنالك خزان آخر شائع طوله = عرضه = 1 م ، أما ارتفاعه فهو 2 م وأما حجمه ( سعته ) فهو مثلي حجم الأول أي 2م3 .
الموشور القائم:
المفهوم : لقد سبق لك أن تعرفت على شكل المنشور القائم ، حيث المنشور القائم هو مجسم له قاعدتان مستويتان ومتطابقتان ، وأسطحه الجانبية مستطيلات .الأشكال الثلاثة أمامك يسمى كل واحد منها منشوراً قائماً ، والعلماء يميزون بين منشواً وآخر باعتماد شكل القاعدة ، فالمنشور رقم (1) هو منشور ثلاثي لأن قاعدته مثلث ، والمنشور رقم (2) يسمى منشوراً رباعياً ، والمنشور رقم (3) يسمى منشوراً خماسياً، وهكذا.

أرجو أن تكون قد شاهدت المنشور الزجاجي الثلاثي القائم الذي يستخدم في تجارب تحليل الضوء . إن له قاعدتين مثلثتين متطابقتين وثلاثة أوجه كل واحد منها مستطيل . وتشاهد أحياناً أعمدة حجرية قائمة ولكن قواعدها خماسية أو سداسية أو غير ذلك . نسمي أي شكل من هذا النوع عموماً باسم المنشور ( أو الموشور ) . إذن المنشور القائم هو شكل منتظم يتكون من قاعدتين متطابقتين يصل بين حوافهما خطوطاً عمودية ( شاقولية ) .
حالات خاصة : المكعب : هو منشور قائم أبعاده الثلاثة متساوية .
مثال : خزان ماء طوله وعرضه وارتفاعه = 1 م
سؤال : هل متوازي المستطيلات ( والمكعب ) يمثل منشوراً ، فسر جوابك ।
ثانيا : متوازي المستطيلات Rectangular Prism
هو موشور قائم قاعدته مستطيل وكل أوجهه الآخرى مستطيلات . وقد تكون قاعدته مربعة ( أي طوله = عرضه ) وارتفاعه له قياس مختلف عن طول قاعدته المربعة .
أمثلة : علبة محارم ورقية ، بعض أنواع علب العصير ، غرفة قاعدتها مستطيل .
نشاط : خذ علبة عصير صغيرة لها نفس شكل الخزّان ( أوجهها الستة كل واحد منها مستطيل ) . قس أبعادها الثلاثة ( طولها وعرضها وارتفاعها ) . بمسطرتك مقرباً لأقرب منزلة عشرية واحدة . استخدم آلتك الحاسبة ( حين اللزوم ) لحساب حجمها ( سعتها من العصير ) . اقرأ كمية العصير على العلبة ( إن وجدت) قارن بين الحجم الذي وجدته والحجم الذي وضعه المصنع على العلبة ، هل كان الاختلاف بينهما كبيراً ؟ ما سبب ( أو أسباب ) الاختلاف في رأيك .
تدريب : ـ اضرب ثلاثة أمثلة لمتوازيات مستطيلات مألوفة لديك .
ـ اكتب بلغتك الخاصة تعريفاً لمتوازي المستطيلات .
مثال محلول :
صندوق من الخشب على شكل متوازي مستطيلات أبعاده 2 ، 3 ، 5 م . احسب حجمه .
الحل : حجم الصندوق = حاصل ضرب أبعاده الثلاثة .
حجم الصندوق = 2م × 3م × 5م
= 30 م3 .
2. مثال آخر :
باب من الخشب ارتفاعه 2 م ، وعرضه 1 م ، وسماكة الخشب المصنوع منه = 5 سم . بفرض أن الباب منتظم وعلى شكل متوازي مستطيلات ، فالمطلوب حساب حجم مادة الخشب التي صنع منها الباب .
الحل : حجم الباب = ارتفاعه × عرضه × سماكته = حجم الخشب المصنوع منه .
لاحظ هنا أن الأبعاد مختلفة في وحداتها فاثنان منها مقاسان بالمتر والثالث بالسم ، إذن عند حساب الحجم يجب جعل الوحدات كلها متشابهة .
إذن حجم الباب = حجم الخشب = 2 م × 1 م ×

لاحظ أننا ضربنا 5 سم × 1 ( حتى لا نغير قيمتها وذلك على شكل



إذن حجم الخشب = 2م × 1 م ×

= 0.1 م3

للتفكير : لو كان لدينا قطعة خشب على شكل متوازي مستطيلات أبعادها 2م × 1م × 1م ، فكم باباً من النوع المذكور في السؤال نستطيع أن نعمل منها بفرض أنه لن يضيع منها أي شيء أثناء عمليات القص والتشكيل ।
المنشور الثلاثي Triangular Prism
وهو منشور قائم قاعدته مثلث وله ثلاث أوجه جانبية كل منها مستطيل .
أمثلة : أوضح الأمثلة على هذا النوع موشورات تحليل الضوء وعادة ما تكون قاعدتها مثلث قائم الزاوية متساوي الساقين ، أو مثلت متساوي الأضلاع
أمثلة أخرى : بعض أنواع علب العصير قد تكون على شكل المنشورات الثلاثية .

رابعا: الموشور الخماسي
وهو موشوور قائم قاعدته خماسي منتظم أو غير منتظم Pentagonal Prism .
وأشهر مثال لهذا النوع : هو وزارة الدفاع الأمريكية المعروفة باسم Pentagon نسبة لشكل بنائها.
خامسا:الموشور السداسي :وهو موشور قاعدته سداسي منتظم أو غير منتظم Hexagonal Prism.
مثال : أوضح مثالي طبيعي عليه هو بلورات المرو ( Quartz ) السداسية .
سادسا: حساب حجم الموشور عموماً مهما كان شكل قاعدته : لحساب حجم أي منشور نضرب مساحة قاعدته في ارتفاعه ، حيث مساحة القاعدة تمثل حاصل ضرب بعدين من أبعاده ، ويكون الارتفاع هو البعد الثالث .
مثال : منشور سداسي قائم مساحة قاعدته 60 سم2 وارتفاعه 12 سم . جد حجمه .
الحل : حجم المنشور = مساحة قاعدته × ارتفاعه
= 60 سم2 × 12 سم = 720 سم3 ।

أمثلة : جد حجم كل من المنشورات التالية :
أبعاد كل منشور موجودة على الشكل.
قاعدة المنشور الاول مثلث قائم الزاوية طول ضلعية القائمة فيه 2 و 5 سم.
1. حجم المنشور (أ) = مساحة القاعدة × الارتفاع = ( مساحة المثلث ) × 8 سم
× 5 × 2 ) × 8 = 40 سم3 .
= (

2. حجم المنشور ( المكعب ) ب = مساحة القاعدةة × الارتفاع
= مساحة المربع × 12
= ( 12 × 12 ) × 12 = 144 × 12 = 1728 سم3 .
3. حجم المنشور (ج) = مساحة القاعدة × الارتفاع
= مساحة المثلث ( قاعدة المنشور ) × الارتفاع
× القاعدة × ارتفاع المثلث ) × 3
= (
× 2 × 1 ) ×3= م3 .
= (

4. منشور خماسي مساحة قاعدته 12 سم2 وارتفاع 3 سم أوجد حجمه .
حجم المنشور = مساحة القاعدة × الارتفاع
= 12 × 3 = 36 سم3 .

5. إذا كان حجم متوازي مستطيلات 90 سم3 مساحة قاعدته 30 سم2 ، احسب ارتفاعه .
حجم المنشور = مساحة القاعدة × الارتفاع
90 = 30 × ع
= 3 سم .
الارتفاع=
سابعا: مساحة سطح المنشورالجانبيية ومساحة سطح المنشور الكلية .
تمهيد: للمنشور كما عرفنا قاعدتان وعدد من الأوجه يعتمد على شكل القاعدة ، فالمنشور الثلاثي له ثلاثة أوجه مستطيلة (بالاضافة إلى قاعدتيه) ومتوازي المستطيلات له أربعة أوجه مستطيلة (بالاضافة إلى قاعدتيه وهما مستطيلتان ) والمنشور السداسي له ستة أوجه مستطيلة ....... إلخ.
كثيراً ما يطلب منا حساب مساحة هذه الأوجه مع أو بدون القاعدتين، ولذلك ميز علماء الرياضيات بين حالتين :
مساحة سطح المنشور الجانبية : هي مجموع مساحة أوجه المنشورالمستطيلة دون القاعدتين .

مساحة سطح المنشور الكلية: هي مجموع مساحة أوجه المنشور المستطيلة + مساحة القاعدتين .
والأمثلة التالية توضح ذلك :
مثال (1) : علبة من الورق المقوى على شكل منشور ثلاثي قائم أبعاده كما في الشكل :
المطلوب :
أ‌- حساب مساحة المنشورالجانبية .
ب‌- حساب مساحة سطح المنشور الكلية .
الحل:
أ- المساحة الجانبية = مساحة المستطيلات الثلاثة :



لنأخذ المستطيل (أ س ع ج ) ومساحته هي = الطول × العرض = 5 × 3 = 15 سم2
المستطيل (أ ب ص س ) ومساحته هي = الطول × العرض = 5 × 5 = 25 سم2 .
المستطيل (ب ص ع ج ) ومساحته هي = الطول × العرض = 5 × 4 = 20 سم2 .
إذن المساحة الجانبية = 15 +25 +20
= 60 سم2.
ويمكن اختصار هذه الطريقة حيث يمكن اعتبار السطح الجانبي للمنشور تحول إلى مستطيل طوله يساوي محيط قاعدة المنشور= 4 + 3 + 5 = 12سم وعرضه هو ارتفاع المنشور = 5 سم ، حيث يمكن حسابة المساحة الجانبية = 12 × 5 = 60 سم2 .
وتصبح مساحة المنشور القائم الجانبية = محيط القاعدة × ارتفاع المنشور .

ب‌- مساحة السطح الكلية = المساحة الجانبية + مساحة القاعدتين .
إن قاعدة المنشور هي عبارة عن مثلث قائم الزاوية ( كيف عرفنا ؟ )

× 3 × 4
إذن مساحة القاعدة =
( المثلث س ص ع ) = 6 سم2.
ولكن مساحة المثلث أ ب ح ( القاعدة الثانية للمنشور) = 6سم2.
إذن المساحة الكلية للمنشور = 60 + ( 6 × 2 )
= 60 + 12
= 72 سم2.
وعموماً مساحة السطح الكلية = المساحة الجانبية + مساحة القاعدتين
= ( محيط القاعدة × الارتفاع ) + ( مثلي مساحة القاعدة ).
أمثلة اضافية : احسب مساحة السطح لكل من المنشورات التالية :

(قاعدة المنشور مثلث قائم الزاوية)
ب. مساحة السطح= المساحة الجانبية + مساحة القاعدتين
= ( محيط القاعدة × الارتفاع ) +( 2 × 15 سم2) .
= ( 2 + 3 + 3 + 4 + 4 ) × 8 + 30 سم2
= ( 8 × 16 ) + 30 = 128 + 30 = 158 سم2
أ. مساحة السطح = المساحة الجانبية + مساحة القاعدتين
= ( محيط القاعدة × الارتفاع ) + 2 ( مساحة القاعدة )
× 8 × 6 )
= ( 8 + 10 + 6 ) × 15 + 2 (
= 360 سم2 + 48 سم2 = 408 سم2 .



حـ. ا حسب مساحة سطح علبة محارم ورقية إذا كانت قاعدتها مستطيلة طولها = 25 سم، وعرضها = 12 سم، علماً بأن ارتفاع العلبة 5سم .
الحل:
مساحة الأوجه الجانبية = الارتفاع × محيط القاعدة
= 5 ( 25 + 25 + 12+ 12 )
= 5 × 74
= 370 سم2.
مساحة القاعدتين = 2 × 25 × 12
= 600 سم2.

إذن مساحة سطح العلبة كلها = 370 + 600
=970 سم2.




‏ليست هناك تعليقات:

إرسال تعليق